📐 矩形折叠问题 · 分步解题引导

通过“已知 → 性质 → 建模 → 求解”四步，掌握折叠类几何题

例 1　如图 1，将矩形纸片 ABCD 沿 EF 折叠，使点 D 落在边 BC 的中点 M 处。若 AB = 4，BC = 6，则 CF 的长为__________。
先自己画一画、标一标，再点击下面的步骤对照思路。
A B M C D E F CF=x CM=3
图 1（按题目数据真实比例绘制）
1

理解题意，标注已知 读题

拿到折叠题，先把题目中的数字和位置标到图上。

  • 矩形 ABCD：对边相等，四个角都是直角。
  • AB = 4，所以 CD = 4。
  • BC = 6，所以 AD = 6。
  • M 是 BC 中点，所以 CM = BM = 3。
2

利用折叠的核心性质 关键

折叠前后，重合的部分全等。也就是说，被折过来的三角形和原来的三角形一模一样。

折叠性质：点 D 沿 EF 折到点 M，所以 △EDF ≌ △EMF。
因此 DF = MF（对应边相等），且 ∠EMF = ∠EDF = 90°。
3

设未知数，把相关线段都表示出来 建模

设我们要求的 CF = x。

  • 因为 CD = 4，所以 DF = CD - CF = 4 - x。
  • 由折叠性质，MF = DF = 4 - x。
  • 又 CM = 3（M 是中点）。
4

用勾股定理列方程 核心

在直角三角形 △CMF 中，根据勾股定理：

CM² + CF² = MF²

代入已知：

3² + x² = (4 - x)²
因此，CF 的长为
7/8

🔍 关于“两个三角形”的说明

在这道题里，折叠产生的是一对全等三角形：△EDF ≌ △EMF。全等是相似的特殊情况。

因为 ∠EMF = 90°，且 B、M、C 三点共线，所以 ∠BME + ∠FMC = 90°。但本题不需要再找另一组相似三角形，直接用勾股定理最简洁。

提醒：几何题的示意图不一定按比例画。本题真实比例中，CF = 7/8 很小，点 F 应紧贴 C；上图已按真实数据重绘。

🧩 理解自测

下面哪一句话是解题的关键依据？

📋 解题方法总结

  1. 读题标图：把已知长度、中点、折叠前后对应点标清楚。
  2. 抓折叠性质：折叠前后对应线段相等、对应角相等。
  3. 设未知数：一般直接设要求的线段为 x，再用已知量表示相关线段。
  4. 建方程：常用勾股定理、相似、面积等建立关于 x 的方程。
  5. 解方程并检验：注意解要符合线段长度为正的实际意义。