引导式教程：菱形折叠求角问题
—— 用精确 SVG 图解 ∠DEC 的求解全过程
题原题再现
如图，在菱形纸片 ABCD 中，∠A = 60°，点 E 在 BC 边上。将菱形纸片 ABCD 沿 DE 折叠，点 C 的对应点为点 C′，且 DC′ 是 AB 的垂直平分线，交 AB 于点 F，则 ∠DEC 的度数为 ______。
图 1：与原题配图方向一致，C′ 在 AB 下方偏左，F 为 AB 中点，DC′ 为过 D 的垂直平分线
1分析菱形性质
你看到了什么图形？它有哪些性质？
ABCD 是菱形，且有一个内角 ∠A = 60°。利用菱形性质可推出大量信息：
- 四条边相等：AB = BC = CD = DA
- 对角相等、邻角互补：∠A = ∠C = 60°，∠B = ∠D = 120°
- 连接 BD 后，△ABD 中 AB = AD 且夹角为 60°，所以 △ABD 是等边三角形
关键结论：因为 △ABD 是等边三角形，所以 AB 边上的高、中线、垂直平分线三线合一，都会经过点 D。
2利用垂直平分线 DC′
DC′ 是 AB 的垂直平分线，意味着什么？
垂直平分线有两个核心性质：
- 经过 AB 的中点 F，即 AF = FB
- 与 AB 垂直，即 DC′ ⊥ AB
结合步骤 1 的结论，DF 正好是等边△ABD 中 AB 边上的高，所以 F 就是 AB 的中点，且 D、F、C′ 三点共线。
设菱形边长为 2，则 AF = FB = 1，DF = √3，DC′ = DC = 2。
因此 FC′ = DC′ − DF = 2 − √3。
3利用折叠性质
沿 DE 折叠，点 C 落在 C′，有什么等量关系？
折叠是一种轴对称变换，折痕 DE 就是对称轴。因此：
- 对应线段相等：DC = DC′，EC = EC′
- 对应角相等：∠CDE = ∠C′DE，∠DEC = ∠DEC′
- DE 是线段 CC′ 的垂直平分线，即 DE ⊥ CC′
核心转化：求 ∠DEC 等价于求 ∠DEC′；而 DE ⊥ CC′，所以在含 CC′ 的直角三角形中，∠DEC = 90° − ∠ECC′。
4求 ∠BCC′（即 ∠ECC′）
如何利用已知边长求出这个关键角？
聚焦 △BCC′，已知三边或可用勾股定理求出：
- BC = 2（菱形边长）
- CC′ = 2√2（C 到 C′ 的水平、竖直距离都是 2）
- 在 Rt△BFC′ 中，BF = 1，FC′ = 2 − √3，所以
BC′² = 1² + (2 − √3)² = 8 − 4√3，即 BC′ = √6 − √2
对 △BCC′ 用余弦定理：
cos∠BCC′ = (BC² + CC′² − BC′²) / (2·BC·CC′)
= (4 + 8 − (8 − 4√3)) / (2·2·2√2)
= (4 + 4√3) / (8√2)
= (1 + √3) / (2√2)
= (√6 + √2) / 4
= cos 15°
所以 ∠BCC′ = 15°，也就是 ∠ECC′ = 15°。
设 B(0,−1), A(−√3,0), D(0,1), C(√3,0)，则 F(−√3/2,−1/2)，C′(−1,1−√3)。E 在 BC 上，由 EC = EC′ 解得 E(2√3−3,1−√3)。向量 CB=(−√3,−1)，CC′=(−1−√3,1−√3)，夹角余弦为 (√6+√2)/4，同样得到 15°。
5求出最终答案
把关键角代入直角关系
因为 DE 是 CC′ 的垂直平分线，设 M 为 CC′ 的中点，则 EM ⊥ CC′。
在 Rt△EMC 中：
∠DEC = ∠MEC = 90° − ∠ECC′ = 90° − 15° = 75°
∠DEC = 75°
知相关知识点清单
1. 菱形的性质
- 四边相等
- 对角相等、邻角互补
- 对角线互相垂直平分且平分对角
2. 等边三角形
- 有一个角为 60° 的等腰三角形是等边三角形
- 三边相等 ⇒ 三角均为 60°
- 高、中线、角平分线、垂直平分线四线合一
3. 垂直平分线
- 垂直平分线上任意一点到线段两端距离相等
- 既是垂直又是中点
4. 折叠（轴对称）
- 折痕是对应点连线的垂直平分线
- 对应线段相等、对应角相等
- 图形全等，形状大小不变
5. 勾股定理
- 在直角三角形中：a² + b² = c²
- 常用于求第三边长度
6. 余弦定理
- c² = a² + b² − 2ab cos C
- 已知三边可求任意角
7. 特殊角三角函数
- cos 15° = (√6 + √2)/4
- sin 15° = (√6 − √2)/4
- 熟悉 15°、75°、105° 等特殊角
8. 坐标法（辅助工具）
- 建立坐标系，用代数方法求点坐标
- 利用距离公式、向量点积求角
总解题思路总结
- 由菱形 + ∠A = 60° 得到 △ABD 为等边三角形。
- 由 DC′ 是 AB 的垂直平分线，确定 D、F、C′ 共线，并求出 FC′。
- 由折叠性质得到 EC = EC′，并将问题转化为求 ∠ECC′。
- 在 △BCC′ 中用余弦定理求得 ∠BCC′ = 15°。
- 利用 DE ⊥ CC′，得到 ∠DEC = 90° − 15° = 75°。
本题的突破口是：把折叠条件转化为对称关系，把求角问题放到一个可解的三角形中。